Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.
Подобные документы
Обработка информации и вычислений в вычислительной машине. Непозиционные и позиционные системы счисления. Примеры перевода десятичного целого и дробного числа в двоичную систему счисления. Десятично-шестнадцатеричное и обратное преобразование чисел.
контрольная работа , добавлен 21.08.2010
Система счисления как способ записи информации с помощью заданного набора цифр. История развития различных систем счисления. Позиционные и непозиционные системы. Вавилонская, иероглифическая, римская система счисления. Система счисления майя и ацтеков.
презентация , добавлен 05.05.2012
Определение понятия и видов систем счисления - символического метода записи чисел, представления чисел с помощью письменных знаков. Двоичные, смешанные системы счисления. Перевод из одной системы счисления в другую и простейшие арифметические операции.
курсовая работа , добавлен 16.01.2012
Понятие и классификация систем счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Перевод правильных и неправильных дробей. Выбор системы счисления для применения в ЭВМ. Навыки обращения с двоичными числами. Точность представления чисел в ЭВМ.
реферат , добавлен 13.01.2011
История систем счисления, позиционные и непозиционные системы счисления. Двоичное кодирование в компьютере. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Запись цифр в римской нумерации. Славянская нумерация, сохранившаяся в богослужебных книгах.
презентация , добавлен 23.10.2015
Двоичный код, особенности кодирования и декодирования информации. Система счисления как совокупность правил записи чисел с помощью определенного набора символов. Классификация систем счисления, специфика перевода чисел в позиционной системе счисления.
презентация , добавлен 07.06.2011
Система счисления как совокупность приемов и правил для обозначения и наименования чисел, ее разновидности и критерии классификации. Свойства позиционных однородных систем с естественным множеством цифр. Преобразование чисел из одной системы в другую.
Представление информации в компьютере .
Для автоматизации работы с данными, которые относятся к разным типам, унифицируют их форму представления. Это можно сделать с помощью кодирования данных на единой основе. В быту используют такие системы кодировки, как азбука Морзе, Брайля, коды морских сигналов. Основное понятие арифметики это число . Число – абстрактное выражение количества. Компьютер обрабатывает информацию, представленную только в числовой форме. Он оперирует с кодами и числами, представленными в некоторой системе счисления.
Система счисления – способ представления чисел(правило записи и получения чисел), с помощью фиксированного набора символов, обозначающих цифры. По способу представления чисел системы счисления разделяются на позиционные и непозиционные.
Непозиционные системы для записи числа используют множество символов. Значение символа не зависит от местоположения его в числе(римская СС ).
Позиционная система счисления – когда от позиции цифры в числе зависит ее вес(555 –единицы, десятки, сотни). Всякая позиционная СС характеризуется основанием , т.е. количеством цифр, используемых для записи числа. За основание СС можно принять любое натуральное число.
10 ая – использует 10 цифр → 0, 1… 9
2 ая – 2 цифры → 0, 1
Люди предпочитают 10 ую (это удобно, видимо потому, что с древних времен считали по пальцам).
В вычислительной технике система кодирования основана на представлении данных в двоичной системе счисления. Компьютеры используют 2 ую систему, т.к. имеется ряд преимуществ:
Для ее реализации нужны устройства всего с двумя устойчивыми состояниями (есть ток, нет тока). Это надежнее, чем, например, 10 ая ;
возможно применение аппарата булевой алгебры;
двоичная арифметика проще десятичной;
представление информации с помощью 2-х состояний более надежно.
Недостаток : - быстрый рост разрядов.
В компьютере используются также 8 ая и 16 ая системы.
Перевод чисел из 10 ой в 2 ую и наоборот выполняет машина.
При вводе информация кодируется, при выводе декодируется.
Обозначение цифр в 2 ой системе: 0, 1, 10, 11(3), 100(4), 101(5), 110(6), 111(7), 1000(8), 1001(9), 1010(10) и т.д.
Обозначение цифр в 8-ой системе: 0, 1, 2 … 7, 10(8), 11(9), 12(10)……17(15), 20(16), 21(17) и т.д.
Обозначение цифр в 16 ой системе: 0, 1, 2 … 9, A (10), B (11), C (12) ... F (15), 10(16), 11(17) и т. д.
Целое число в позиционной СС может быть представлено в виде:
A q =a n-1 q n-1 +a n-2 q n-2+…+ a 0 q 0 , где
A – само число;
q – основание системы счисления;
a i – цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n – число целых разрядов числа.
Пусть в десятичной системе задано число 375 10 .
Каждая позиция, занимаемая цифрами, называется разрядом числа . Разряды имеют названия и номера: разряд единиц (0), разряд десятков (1), разряд сотен (2). Названия определяют вес (012) . Число в позиционной системе счисления представляет собой сумму степеней основания, умноженную на соответствующий коэффициент, который должен быть одной из цифр данной системы счисления. Достаточно просуммировать веса единичных разрядов.
А 10 =375
375 10 =5*10 0 +7*10 1 +3*10 2 = 5+70+300=375
Это называется разложением числа по степеням основания.
Номера разрядов совпадают с показателем степени.
101101 2 =1*2 0 +0*2 1 +1*2 2 +1*2 3 +0*2 4 +1*2 5 =1+0+4+8+0+32=45 10
10110 2 =0*2 0 +1*2 1 +1*2 2 +0*2 3 +1*2 4 =0+2+4+0+16=22 10
100001 2 =1*2 0 +0*2 1 +0*2 2 +0*2 3 +0*2 4 +1*2 5 =1+32=33 10
17 8 =1*8 1 +7*8 0 = 8+1=15 10
7764 8 = 7*8 3 +7*8 2 +6*8 1 +4*8 0 = 3584+448+48+4 =4084 10
17 16 = 1*16 1 +7*16 0 = 16+7 = 23 10
3 AF 16 =3*16 2 +10*16 1 +15*16 0 =768+160+15=943 10
1 A 16 = 1*16 1 +10*16 0 = 16+10 = 26 10
От того, какая система счисления будет использована в компьютере, зависят: скорость вычислений, емкость памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических и логических операций
33 10 = ? 2
Алгоритм перевода чисел делением на основание системы счисления : исходное число делим на основание новой СС. Затем получившееся частное опять делим на основание и т. д. , до тех пор, пока частное не станет меньше основания СС. Последнее частное и остатки записываем в порядке, обратном получению.
33 10 = 100001 2
Двоичная система счисления является стандартом при конструировании компьютеров.
Десятичная система счисления используется для организации ввода / вывода информации. Двоичная СС – для организации машинных операций по преобразованию информации. 8-миричная и 16-тиричная системы используются для более короткой и удобной записи, т. к. требует меньше разрядов(для записи программ в машинных кодах).
Для автоматизации работы с данными, которые относятся к разным типам, унифицируют их форму представления. Это можно сделать с помощью кодирования данных на единой основе. В быту используют такие системы кодировки, как азбука Морзе, Брайля, коды морских сигналов. Основное понятие арифметики это число.Число– абстрактное выражение количества. Компьютер обрабатывает информацию, представленную только в числовой форме. Он оперирует с кодами и числами, представленными в некоторойсистеме счисления.
Система счисления– способ представления чисел(правило записи и получения чисел), с помощью фиксированного набора символов, обозначающих цифры. По способу представления чисел системы счисления разделяются на позиционные и непозиционные.
Непозиционныесистемы для записи числа используют множество символов. Значение символа не зависит от местоположения его в числе(римская СС).
Позиционная система счисления– когда от позиции цифры в числе зависит ее вес(555 –единицы, десятки, сотни). Всякая позиционная СС характеризуетсяоснованием,т.е. количеством цифр, используемых для записи числа. За основание СС можно принять любое натуральное число.
10ая– использует 10 цифр → 0, 1… 9
2ая– 2 цифры → 0, 1
Люди предпочитают 10ую(это удобно, видимо потому, что с древних времен считали по пальцам).
В вычислительной технике система кодирования основана на представлении данных в двоичной системе счисления. Компьютеры используют 2уюсистему, т.к. имеется ряд преимуществ:
Для ее реализации нужны устройства всего с двумя устойчивыми состояниями (есть ток, нет тока). Это надежнее, чем, например, 10ая;
возможно применение аппарата булевой алгебры;
двоичная арифметика проще десятичной;
представление информации с помощью 2-х состояний более надежно.
Недостаток: - быстрый рост разрядов.
В компьютере используются также 8аяи 16аясистемы.
Перевод чисел из 10ойв 2уюи наоборот выполняет машина.
При вводе информация кодируется, при выводе декодируется.
Обозначение цифр в 2ой системе:0, 1, 10, 11(3), 100(4), 101(5), 110(6), 111(7), 1000(8), 1001(9), 1010(10)и т.д.
Обозначение цифр в 8-ой системе: 0, 1, 2 … 7, 10(8), 11(9), 12(10)……17(15), 20(16), 21(17)и т.д.
Обозначение цифр в 16ой системе: 0, 1, 2 … 9, A(10), B(11),C(12) ... F(15), 10(16), 11(17) и т. д.
Целое число в позиционной СС может быть представлено в виде:
Aq=an-1qn-1+an-2qn-2+…+a0q0 , где
A– само число;
q– основание системы счисления;
ai– цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n– число целых разрядов числа.
Пусть в десятичной системе задано число37510.
Каждая позиция, занимаемая цифрами, называется разрядом числа.Разряды имеют названия иномера:разряд единиц (0), разряд десятков (1), разряд сотен (2). Названия определяютвес (012). Число в позиционной системе счисления представляет собой сумму степеней основания, умноженную на соответствующий коэффициент, который должен быть одной из цифр данной системы счисления. Достаточно просуммировать веса единичных разрядов.
37510=5*100+7*101+3*102 = 5+70+300=375
Это называется разложением числа по степеням основания.
Номера разрядов совпадают с показателем степени.
1011012=1*20+0*21+1*22+1*23+0*24+1*25=1+0+4+8+0+32=4510
101102=0*20+1*21+1*22+0*23+1*24=0+2+4+0+16=2210
1000012=1*20+0*21+0*22+0*23+0*24+1*25=1+32=3310
178=1*81+7*80= 8+1=1510
77648= 7*83+7*82+6*81+4*80 = 3584+448+48+4 =408410
1716= 1*161+7*160= 16+7 = 2310
3AF16=3*162+10*161+15*160=768+160+15=94310
1A16= 1*161+10*160= 16+10 = 2610
От того, какая система счисления будет использована в компьютере, зависят: скорость вычислений, емкость памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических и логических операций
Алгоритм перевода чисел делением на основание системы счисления: исходное число делим на основание новой СС. Затем получившееся частное опять делим на основание и т. д. , до тех пор, пока частное не станет меньше основания СС. Последнее частное и остатки записываем в порядке, обратном получению
Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.
Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения
700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 10 2 + 5 10 1 + 7 10 0 + 7 10 -1 = 757,7.
Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
За основание системы можно принять любое натуральное число - два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения
a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + ... + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + ... + a -m q -m ,
где a i – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.
Например:
Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?
В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.
Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену её на 0.
Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета :
Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел
· в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
· в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
· в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
· восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.
Какие системы счисления используют специалисты для общения с компьютером?
Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2 , а именно :
· двоичная (используются цифры 0, 1);
· восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);
· шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел - от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).
Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел:
|
|
Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.
Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления?
Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
Ответ: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16 .
Сложение
Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.
Сложение в шестнадцатиричной системе
При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.
Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.
Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.
| Шестнадцатеричная: F 16 +7 16 +3 16 | Ответ: 5+7+3 = 25 10 = 11001 2 = 31 8 = 19 16 . Проверка: 11001 2 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16+8+1=25, 31 8 = 3*8 1 + 1*8 0 = 24 + 1 = 25, 19 16 = 1*16 1 + 9*16 0 = 16+9 = 25. |
Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.
Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25
311,2 8 = 3*8 2 + 1 8 1 + 1*8 0 + 2*8 -1 = 201,25
C9,4 16 = 12*16 1 + 9*16 0 + 4*16 -1 = 201,25
Вычитание
Пример 4. Вычтем единицу из чисел 10 2 , 10 8 и 10 16
Пример 5. Вычтем единицу из чисел 100 2 , 100 8 и 100 16 .
Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.
Ответ: 201,25 10 – 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D,8 16 .
Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 –1 = 141,5;
215,4 8 = 2*8 2 + 1*8 1 + 5*8 0 + 4*8 –1 = 141,5;
8D,8 16 = 8*16 1 + D*16 0 + 8*16 –1 = 141,5.
Умножение
Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.
| Умножение в двоичной системе | Умножение в восьмеричной системе |
Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.
Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.
Ответ: 5*6 = 30 10 = 11110 2 = 36 8 .
11110 2 = 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1 = 30;
36 8 = 3 8 1 + 6 8 0 = 30.
Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.
Ответ: 115*51 = 5865 10 = 1011011101001 2 = 13351 8 .
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
1011011101001 2 = 2 12 + 2 10 + 2 9 + 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 0 = 5865;
13351 8 = 1*8 4 + 3*8 3 + 3*8 2 + 5*8 1 + 1*8 0 = 5865.
Деление
Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.
Пример 9. Разделим число 30 на число 6.
Ответ: 30: 6 = 5 10 = 101 2 = 5 8 .
Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.
Восьмеричная: 13351 8:163 8
Ответ: 5865: 115 = 51 10 = 110011 2 = 63 8 .
110011 2 = 2 5 + 2 4 + 2 1 + 2 0 = 51; 63 8 = 6*8 1 + 3*8 0 = 51.
Пример 11. Разделим число 35 на число 14.
Восьмеричная: 43 8: 16 8
Ответ: 35: 14 = 2,5 10 = 10,1 2 = 2,4 8 .
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,1 2 = 2 1 + 2 -1 = 2,5;
2,4 8 = 2*8 0 + 4*8 -1 = 2,5.
Сложение и вычитание
При сложении обратных кодов чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:
1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:
Получен правильный результат.
Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = –7 10 .
Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.
Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа –11 10 вместо обратного кода числа –10 10) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.
При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = –10 10 .
При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа . Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.
5. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2 n–1 , где n – количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2 n–1 = 27 = 128). Например:
Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (162 10 = 10100010 2), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.
Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.
Все эти случаи имеют место и при сложении дополнительных кодов чисел:
1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.
2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:
Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = –7 10 .
3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:
Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.
4. А и В отрицательные. Например:
Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.
Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.
Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:
· на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов - образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;
· время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.
Умножение и деление
Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливающим сумматором, который до начала выполнения операции содержит число ноль. В процессе выполнения операции в нем поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завершении операции - окончательный результат.
Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем число уменьшается, пока не достигнет нулевого значения.
Для иллюстрации умножим 110011 2 на 101101 2 .
Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.
Сложение и вычитание
При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков.
В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются.
В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.
Пример 1. Сложить двоичные нормализованные числа 0.10111 2 –1 и 0.11011*2 10 . Разность порядков слагаемых здесь равна трем, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:
Пример 2. Выполнить вычитание двоичных нормализованных чисел 0.10101*2 10 и 0.11101*2 1 . Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:
Результат получился не нормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на два разряда с соответствующим уменьшением порядка на две единицы: 0.1101*2 0 .
Умножение
Пример 3. Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:
(0.11101*2 101)*(0.1001*2 11) = (0.11101*0.1001)* 2 (101+11) = 0.100000101*2 1000 .
Деление
Пример 4. Выполнить деление двоичных нормализованных чисел:
0.1111*2 100: 0.101*2 11 = (0.1111: 0.101) * 2 (100–11) = 1.1*2 1 = 0.11 2 10 .
Использование представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет схему арифметико-логического устройства.
Упражнения
4.1. Используя Правило Счета, запишите первые 20 целых чисел в десятичной, двоичной, троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления.
[ Ответ ]
4.2. Какие целые числа следуют за числами:
[ Ответ ]
4.4. Какой цифрой заканчивается четное двоичное число? Какой цифрой заканчивается нечетное двоичное число? Какими цифрами может заканчиваться четное троичное число?
[ Ответ ]
4.5. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами:
o а) в двоичной системе;
o б) в восьмеричной системе;
o в) в шестнадцатеричной системе?
4.6. В какой системе счисления 21 + 24 = 100?
Решение. Пусть x - искомое основание системы счисления. Тогда 100 x = 1 · x 2 + 0 · x 1 + 0 · x 0 , 21 x = 2 · x 1 + 1 · x 0 , 24 x = 2 · x 1 + 4 · x 0 . Таким образом, x 2 = 2x + 2x + 5 или x 2 - 4x - 5 = 0. Положительным корнем этого квадратного уравнения является x = 5.
Ответ. Числа записаны в пятеричной системе счисления.
4.7. В какой системе счисления справедливо следующее:
o а) 20 + 25 = 100;
o б) 22 + 44 = 110?
4.8. Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.
[ Ответ ]
4.9. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
[ Ответ ]
4.10. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
а) 125 10 ; б) 229 10 ; в) 88 10 ; г) 37,25 10 ; д) 206,125 10 .
[ Ответ ]
4.11. Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
| а) 1001111110111,0111 2 ; | г) 1011110011100,11 2 ; |
| б) 1110101011,1011101 2 ; | д) 10111,1111101111 2 ; |
| в) 10111001,101100111 2 ; | е) 1100010101,11001 2 . |
[ Ответ ]
4.12. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа:
а) 2СE 16 ; б) 9F40 16 ; в) ABCDE 16 ; г) 1010,101 16 ; д) 1ABC,9D 16 .
[ Ответ ]
4.13. Выпишите целые числа:
o а) от 101101 2 до 110000 2 в двоичной системе;
o б) от 202 3 до 1000 3 в троичной системе;
o в) от 14 8 до 20 8 в восьмеричной системе;
o г) от 28 16 до 30 16 в шестнадцатеричной системе.
4.14. Для десятичных чисел 47 и 79 выполните цепочку переводов из одной системы счисления в другую:
[ Ответ ]
4.15. Составьте таблицы сложения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.
[ Ответ ]
4.16. Составьте таблицы умножения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.
[ Ответ ]
4.17. Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:
[ Ответ ]
4.18. В каких системах счисления выполнены следующие сложения? Найдите основания каждой системы:
[ Ответ ]
4.19. Найдите те подстановки десятичных цифр вместо букв, которые делают правильными выписанные результаты (разные цифры замещаются разными буквами):
[ Ответ ]
4.20. Вычтите:
[ Ответ ]
4.21. Перемножьте числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные умножения:
| а) 101101 2 и 101 2 ; | д) 37 8 и 4 8 ; |
| б) 111101 2 и 11,01 2 ; | е) 16 8 и 7 8 ; |
| в) 1011,11 2 и 101,1 2 ; | ж) 7,5 8 и 1,6 8 ; |
| г) 101 2 и 1111,001 2 ; | з) 6,25 8 и 7,12 8 . |
[ Ответ ]
4.22. Разделите 10010110 2 на 1010 2 и проверьте результат, умножая делитель на частное.
[ Ответ ]
4.23. Разделите 10011010100 2 на 1100 2 и затем выполните соответствующее десятичное и восьмеричное деление.
[ Ответ ]
4.24. Вычислите значения выражений:
o а) 256 8 + 10110,1 2 * (60 8 + 12 10) - 1F 16 ;
o б) 1AD 16 - 100101100 2: 1010 2 + 217 8 ;
o в) 1010 10 + (106 16 - 11011101 2) 12 8 ;
o г) 1011 2 * 1100 2: 14 8 + (100000 2 - 40 8).
4.25. Расположите следующие числа в порядке возрастания:
o а) 74 8 , 110010 2 , 70 10 , 38 16 ;
o б) 6E 16 , 142 8 , 1101001 2 , 100 10 ;
o в) 777 8 , 101111111 2 , 2FF 16 , 500 10 ;
o г) 100 10 , 1100000 2 , 60 16 , 141 8 .
4.26. Запишите уменьшающийся ряд чисел +3, +2, ..., -3 в однобайтовом формате:
o а) в прямом коде;
o б) в обратном коде;
o в) в дополнительном коде.
4.27. Запишите числа в прямом коде (формат 1 байт):
а) 31; б) -63; в) 65; г) -128.
[ Ответ ]
4.28. Запишите числа в обратном и дополнительном кодах (формат 1 байт):
а) -9; б) -15; в) -127; г) -128.
[ Ответ ]
4.29. Найдите десятичные представления чисел, записанных в дополнительном коде:
а) 1 1111000; б) 1 0011011; в) 1 1101001; г) 1 0000000.
[ Ответ ]
4.30. Найдите десятичные представления чисел, записанных в обратном коде:
а) 1 1101000; б) 1 0011111; в) 1 0101011; г) 1 0000000.
[ Ответ ]
4.31. Выполните вычитания чисел путем сложения их обратных (дополнительных) кодов в формате 1 байт. Укажите, в каких случаях имеет место переполнение разрядной сетки:
| а) 9 - 2; | г) -20 - 10; | ж) -120 - 15; |
| б) 2 - 9; | д) 50 - 25; | з) -126 - 1; |
| в) -5 - 7; | е) 127 - 1; | и) -127 - 1. |
[ Ответ ]
Лекция 4. Арифметические основы компьютеров
Логика, как наука развивается с IV в. до н. э. начиная с трудов Аристотеля. Именно он подверг анализу человеческое мышление, такие его формы, как понятие, суждение, умозаключение.
Логика – (от греч. “логос”, означающего “слово” и “смысл”) – наука о законах, формах и операциях правильного мышления. Ее основная задача заключается в нахождении и систематизации правильных способов рассуждения.
Рис. 1. Основные формы абстрактного мышления
Понятие – это форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов. Всякое понятие имеет содержание и объем. Например, понятие “Черное море” – отражает единичный предмет, “Сиамская кошка” – отражает класс сиамских кошек.
Высказывание (суждение) – некоторое предложение, которое может быть истинно (верно) или ложно. Например, Абакан – столица Хакасии. Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть. Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом.
Умозаключение – логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных суждений получается (выводится) новое суждение. Умозаключения бывают: Дедуктивные (от общего к частному) – Все ученики ходят в школу. Вася – ученик. Вася ходит в школу. Индуктивные (от частного к общему) – Банан и персик – сладкие. Значит, все фрукты сладкие на вкус. Аналогия – Наши коровы едят траву и дают молоко. В Австралии есть поля, коровы едят эту траву. Следовательно, австралийские коровы тоже дают молоко.
В алгебре логики высказывания обозначаются именами логических переменных (А, В, С). Истина, ложь – логические константы.
Логическое выражение – запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА (логическая 1) или ЛОЖЬ (логический 0).
Сложное логическое выражение – логическое выражение, составленное из одного или нескольких простых (или сложных) логических выражений, связанных с помощью логических операций.
| | | следующая лекция ==> | |
| Шестнадцатеричная система счисления используется для компактного представления (на бумаге или на экране) двоичной информации, хранимой в памяти ЭВМ. | | |